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整式方程未知數次數最高項次數高於2次的方程,稱為高次方程。高次方程解法思想是通過適當的方法,把高次方程化為次數較低的方程求解。對於5次及以上的一元高次方程沒有通用的代數解法和求根公式(即通過各項係數經過有限次四則運算和乘方和開方運算無法求解),這稱為阿貝爾定理。 換句話說,只有三次和四次的高次方程可用根式求解。

1定義

整式方程未知數次數最高項次數高於2次的方程,稱為高次方程。

2一般形式

高次方程的一般形式為
anx^n+an-1x^n-1+-------+a1x+a0=
高次方程

  高次方程

0
等式兩邊同時除以最高項係數,得:
anx^n/an+an-1x^n-1/an+--------+a1x/an+a0/an=0
所以高次方程一般形式又可寫為
x^n+bnx^n-1+-------b1x+b0=0

3其它相關

根與係數
按這個高次方程的形式
x^n+bn-1x^n-1+-------b1x+b0=0,那麼有
所有根相加等於係數bn-1的相反數
所有根兩兩相乘再相加等於係數bn-2
所有根三三相乘再相加等於係數bn-3的相反數
依次類推,直到所有根相乘,等於(-1)^nb0
四次方程
卡爾丹公式誕生后,卡爾丹的學生費拉里便發明了一元四次方程的求根公式。
【費拉里公式
一元四次方程
aX^4+bX^3+cX^2+dX+e=0,
(a,b,c,d,e∈R,且a≠0)。
令a=1,則
X^4+bX^3+cX^2+dX+e=0,
此方程是以下兩個一元二次方程的解。
2X^2+(b+M)X+2(y+N/M)=0;
2X^2+(b—M)X+2(y—N/M)=0。
其中
M=√(8y+b^2—4c);N=by—d,(M≠0)。
y是一元三次方程
8y^3—4cy^2—(8e—2bd)y—e(b^2—4c)—d^2=0
的任一實根。

三次方程

一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的,用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如aX^3+bX^2+cX+d=0的標準型一元三次方程形式化為X^3+pX+q=0的特殊型。
卡爾丹公式
一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)
判別式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3
卡爾丹公式
X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3);
X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2;
X3=(Y1)(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω,
其中ω=(-1+i3^(1/2))/2;
Y(1,2)=-(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。
一般式一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0
令X=Y—b/(3a)代入上式,
可化為適合卡爾丹公式求解的特殊型三次方程Y^3+pY+q=0。
盛金公式
三次方程應用廣泛。用根號解一元三次方程,雖然有著名的卡爾丹公式,並有相應的判別法,但使用卡爾丹公式解題比較複雜,缺乏直觀性。范盛金推導出一套直接用a、b、c、d表達的較簡明形式的一元三次方程的一般式新求根公式,並建立了新判別法。
盛金公式
盛金公式1

  盛金公式1

盛金公式2

  盛金公式2

盛金公式3

  盛金公式3

盛金公式4

  盛金公式4

盛金判別法
盛金判別法

  盛金判別法

盛金定理
盛金定理

  盛金定理

當Δ=0(d≠0)時,使用卡爾丹公式解題仍存在開立方(WhenΔ=0,Shengjin』s formula is not with radical sign,and efficiency higher for solving an equation)。與卡爾丹公式相比較,盛金公式的表達形式較簡明,使用盛金公式解題較直觀、效率較高;盛金判別法判別方程的解較直觀。重根判別式A=b^2-3ac;B=bc-9ad;C=c^2-3bd是最簡明的式子,由A、B、C構成的總判別式Δ=B^2-4AC也是最簡明的式子(是非常美妙的式子),其形狀與一元二次方程的根的判別式相同;盛金公式②中的式子(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式,這些表達形式體現了數學的有序、對稱、和諧與簡潔美。
盛金公式解法的以上結論,發表在《海南師範學院學報(自然科學版)》(第2卷,第2期;1989年12月,中國海南。國內統一刊號:CN46-1014),第91—98頁。范盛金,一元三次方程的新求根公式與新判別法。(NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE,Hainan Province,China. Vol. 2,No. 2;Dec,1989),A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation., Fan Shengjin. PP·91—98 .
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