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麥克斯韋速度分佈律

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1定義

氣體中個別分子的速度具有怎樣的數值和方向完全是偶然的,但就大量分子的整體來看,在一定的條件下,氣體分子的速度分佈也遵從一定的統計規律。這個規律也叫麥克斯韋速率分佈律。
麥克斯韋速度分佈律

2歷史

1859年,J.C.麥克斯韋首先獲得氣體分子速度的分佈規律,爾後,又為L.玻耳茲曼由碰撞理論嚴格導出。處於平衡狀態下的理想氣體分子以不同的速度運動,由於碰撞,每個分子的速度都不斷地改變,使分子具有各種速度。因為分子數目很大,分子速度的大小和方向是無規的,所以無法知道具有確定速度υ的分子數是多少,但可知道速度在υ1與υ2之間的分子數是多少。麥克斯韋首先得到,在平衡狀態下,當氣體分子間相互作用可以忽略時,分佈在任一速率區間υ~υ+dυ內的分子數與總分子數的比率為

3內容

速率分佈函數
按統計假設,各種速率下的分子都存在,可以用某一速率區間內分子數佔總分子數的百分比來表示分子按速率的分佈規律。
1.將速率從0→∞分割成很多相等的速率區間。
例如速率間隔取100m/s ,
整個速率分為0—100;100—200;…等區間。
2.總分子數為N,在vv+△v區間內的分子數為△N
vv+△v區間內的概率為△Ni/N
則可了解分子按速率分佈的情況。
3.概率
1)△Ni/Nv有關,不同v附近概率不同。
2)△Ni/N與△v有關,速率間隔大概率大。
4.vdv速率間隔很小,
該區間內分子數為dN
在該速率區間內分子的概率
dN/N∝dv
寫成等式
f(v)=dN/Ndv
表示分佈在vv+dv區間內的分子數佔總分子數的比率(或百分比)

速率分佈函數的物理意義

表示在速率v附近,單位速率區間內分子出現的概率,或單位速率區間內分子數佔總分子數的百分比。
vv+dv區間內的分子數為dN=Nf(v)dv
v1→v2有限區間內的概率為△N/N=∫v1 f(v) dv
由於全部分子百分之百地分佈在由0¥的整個速率範圍內,
v1=0,v2¥,則有上式等於1
麥克斯韋速度分佈律

4正文

即速率分佈函數為 式中T是氣體的溫度,m是分子的質量,k是玻耳茲曼常數。圖中的曲線叫速率分佈曲線,它描繪出氣體分子按速率的分佈情況。中任一區間 υ~υ+dυ內曲線下的窄條面積與總面積的比表示速率分佈在這個區間內的分子數的比。由看出,速率很大和很小的分子所佔的比率都很小。1920年O.斯特恩最先用原子束(分子束)實驗直接驗證了麥克斯韋速率分佈律的正確性。 麥克斯韋速度分佈律
從麥克斯韋速率分佈函數出發,可以求出氣體分子的最可幾速率、均方根速率和平均速率。
① 最慨然速率υm。定義為概率最大的速率。即在這速率下,分佈函數f(υ)具有極大值。此時  ② 方均根速率υr。定義為速率平方平均的平方根值。可得  ③ 平均速率。定義為速率的算術平均值。有  考慮到氣體分子速度方向以後,就可以得出氣體分子速度的分佈律。用v表示氣體分子的速度矢量,υx、υy、υz分別表示v沿直角坐標軸xyz的分量。從理論上可推出:在平衡狀態下,當氣體分子間的相互作用可以忽略時,速度分量υx在υx~υx+dυx內,υy在υy~υy+dυy內,υz在υz~υz+dυz內的分子數的比率為 。
這個結論叫做麥克斯韋速度分佈律。
1872年,玻耳茲曼創立了系統的氣體輸運理論,從研究非平衡態分佈函數著手,建立了H定理(見統計物理學)。玻耳茲曼根據H定理證明,在達到平衡狀態時,氣體分子的速度分佈趨於麥克斯韋分佈。
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