標籤: 暫無標籤

古希臘的學者曾經提出一個著名的龜兔賽跑悖論。阿基米德的龜兔賽跑法則,又稱阿吉利斯悖論,是說阿基米德和一隻烏龜賽跑,烏龜在阿基米德前面100米的地方,烏龜的速度是1米/s,阿基米德的速度是10米/s,阿基米德追的上烏龜嗎阿基米德跑完100米的時候,烏龜又跑了10米,阿基米德跑完餘下的10米,烏龜又跑了1米,按這樣推理,烏龜始終都會領先阿基米德。其實這是一種詭辯,學過無窮等比數列,就能知道烏龜領先的時間其實是有限的。

1 龜兔悖論 -簡介

   古希臘的學者曾經提出一個著名的龜兔賽跑悖論。它是這樣的:烏龜先爬了一段在A1點,兔子在起點B點。兔子想要追上烏龜。但是,它在追烏龜的同時烏龜在往前爬。兔子想要追上烏龜,就必須到達烏龜開始所在的點A1。當它到達A1點時,烏龜又爬了一段到達A2點(它們之間的相對距離減小了)。然後兔子又必須追趕到達A2點,可是此時烏龜又到達A3點(它們之間相對距離繼續縮小)。兔子想追上烏龜必須到達A3點,可是烏龜已經爬到A4點……這樣下去,兔子和烏龜之間的距離會越來越小,也就是,一直跑下去,兔子和烏龜之間的距離會達到無窮小,但是,兔子無論如何也追不上烏龜。

2 龜兔悖論 -詳述

 可以看到,這個悖論在邏輯上是沒有問題的,那麼究竟是什麼在出問題呢?經過分析可以發現,這個問題的關鍵就在於:無限小是不是有盡頭?  兔子和烏龜之間的相對距離會隨著運動變成無限小,但是只有這個相對距離變成0,兔子才能夠追上烏龜, 否則它們之間就隔著一道正無限小的鴻溝。可是在現實之中,兔子追上了烏龜(兔子速度大於烏龜),那麼在數學的理想模型中,正無限小是否有個盡頭呢?
   為了更加清晰地理解和研究這個問題,不妨取一些特殊值來進行計算。例如:
   如果兔子和烏龜之間的距離是8m,兔子的速度是2m/s,烏龜的速度是1m/s。
   按照悖論的邏輯,它們的運動過程是這樣:兔子跑完8m用了4s,在這4s中,烏龜又爬了4m。等到兔子跑完4米用了2秒,烏龜又爬了2米……
   烏龜的起點在A1。兔子的起點在B。兔子和烏龜的距離為8米,隨著時間推移,兔子和烏龜的距離不斷減小:
4m、2m、1m、1/2 m、1/4 m、1/8 m   ……
   那麼,可以看出兔子所跑過的距離一共為S1=8+4+2+1+ 1/2+1/4 +1/8…… …… 。同時,烏龜走過的距離一共為S2=4+2+1+ + +…… …… 這兩個涉及無限的式子很難處理,如何計算出它們的值呢?
   如果我們越過這個無限小,而採用間接的方法來求是極其簡單的:假設烏龜不動,兔子與烏龜的相對速度為1m/s,那麼兔子追上烏龜只需要8s。也就是說,8秒以後,兔子跑了16米,烏龜爬了8米,那麼兔子就追上了烏龜。
   也就是說,兔子是可以追上烏龜的,這個無限小的距離最後被越過了!這就要求,從數學角度來說, 一個無限小的正數在某個條件下最終能夠取到0,這個正無限小的運動必須有個極限!而這個極限就是1/0  再來看一看上面式子,它是一個公比為1/2的等比數列的無限項的和。按照我的理論,無限持續下去就可以達到極限,這裡一共有1/0項,最後一項為0。S1=8+4+2+1+1/2+ 1/4+…… ……+0。既然知道了首項,公比和項數,那麼就可以使用等比數列求和公式來計算了。
  通過計算結果可以知道,只要承認了1/0的存在,就可以引用極限概念從數學角度解決這個悖論。同時,這將對數學概念產生極大的影響。一個正無限小的趨勢,運行到極限時,就可以取到0。而無限大和無限小運行到極限時,就都會變成一個極限數。這個觀念如果得到承認,將是一個理念上的巨大突破。
   同時,從物理意義來說,這也啟示我們:物質的分割是有一個盡頭的,在分到極限時,可以將物質分到虛無,它是不存在,就是一種特殊的存在狀態。人們在分割物質的時候沒有能力分到極限,但這並不意味著在自然之中的運動和變化無法達到極限。在這個龜兔賽跑的悖論中,運動達到了極限,最終使這個無限小運動到了0,使兔子追上了烏龜。
上一篇[1978年7月2日]  

相關評論

同義詞:暫無同義詞