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ZF公理系統再加上選擇公理就構成了ZFC公理系統:
ZF公理系統是策梅洛(Zermelo)和弗倫克爾(Fraenkel)等提出的ZF系統,主要內容如下:
(ZF1)外延公理:一個集合完全由它的元素所決定。如果兩個集合含有同樣的元素,則它們是相等的。
(ZF2)空集合存在公理:即存在一集合s,它沒有元素。
(ZF3)無序對公理:也就是說,任給兩個集合x、y,存在第三個集合z,而w∈z當且僅當w=x或者w=y。
(ZF4)並集公理:也就是說,任給一集合x,我們可以把x的元素的元素彙集到一起,組成一個新集合。
準確的定義:「對任意集合x,存在集合y,使w∈y當且僅當存在z使z∈x且w∈z」。
(ZF5)冪集公理:也就是說,任意的集合x,P(x)也是一集合。
準確的定義:「對任意集合x,存在集合y,使z∈y當且僅當對z的所有元素w,w∈x」。
(ZF6)無窮公理:也就是說,存在一集合x,它有無窮多元素。
準確的定義:「存在一個集合,使得空集是其元素,且對其任意元素x,x∪{x}也是其元素。」
根據皮亞諾公理系統對自然數的描述,此即:存在一個包含所有自然數的集合。
(ZF7)分離公理模式:「對任意集合x和任意對x的元素有定義的邏輯謂詞P(z),存在集合y,使z∈y當且僅當z∈x而且P(z)為真」。
(ZF8)替換公理模式:也就是說,對於任意的函數F(x),對於任意的集合t,當x屬於t時,F(x)都有定義(ZF中唯一的對象是集合,所以F(x)必然是集合)成立的前提下,就一定存在一集合s,使得對於所有的x屬於t,在集合s中都有一元素y,使y=F(x)。也就是說,由F(x)所定義的函數的定義域在t中的時候,那麼它的值域可限定在s中。
(ZF9)正則公理:也叫基礎公理。所有集都是良基集。說明一個集合的元素都具有最小性質,例如,不允許出現x屬於x的情況。
準確的定義:「對任意非空集合x,x至少有一元素y使x∩y為空集。」
註:以上全部即是ZF公理系統的內容,再加上選擇公理就構成了ZFC公理系統。
(AC)選擇公理:對任意集c存在以c為定義域的選擇函數g,使得對c的每個非空元集x,g(x)∈x。
注2:空集公理是可以由其它公理導出。一般認為ZF公理系統可以不包含空集公理。
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